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Note sur J.B.E. Dubourguet et ses « Traités élémentaires de Calcul différentiel et de calcul intégral indépendans de toutes notions de quantités infinitésimale et de limites, ouvrage mis à la portée des commençans , et où se trouvent plusieurs nouvelles théories et méthodes fort simplifiées d'intégrations , avec des applications utiles aux progrès des Sciences exactes » édités chez Courcier, imprimeur-libraire, à Paris en 1810.

On sait peu de choses sur Du Bourguet. Il est présenté en 1811 dans les Annales de Gergonne, premier grand périodique de l'histoire des mathématiques, comme “ Ancien officier de marine, Docteur en la Faculté des Sciences, Officier de l'Université, et Professeur de Mathématiques spéciales au Lycée Impérial ”, et il est à ce titre représentatif d'une partie importante de l'ensemble des correspondants de Gergonne et de son journal. Si l'on ne sait de quel lycée impérial il s'agit, on peut noter toutefois qu'il signe de Paris toutes les lettres qu'il adresse à Gergonne de 1811 à 1814.

Son traité de calcul différentiel et intégral s'inscrit tout à fait dans la lignée des ouvrages de Lagrange, d'Arbogast et de Lacroix, parus à la même époque, et qui faisaient référence dans le monde de l'enseignement et dans les institutions scientifiques (Institut, Ecole Polytechnique, Académies étrangères et provinciales).

Au titre de cette parenté, il est aussi représentatif du malaise des mathématiques du début du 19^ème siècle relativement à la notion d'infinitésimal et de sa légitimité dans les calculs comme dans les ouvrages didactiques. Le titre de ces « traités » est significatif de cet « état de blocage » : l'émergence de l'infiniment petit dans le calcul au début du 17^ème siècle, chez Leibniz et Newton, fut suivie durant un siècle par une utilisation de ce concept riche en applications et en résolutions de problèmes de mécanique comme de mathématiques pures. Mais au plan ontologique et philosophique, il impliquait une rupture épistémologique, à savoir l'abandon du réalisme géométrique hérité des Anciens, et qui voulait que toute entité mathématique eût une représentation dans le réel par « la figure présente aux sens ». Le problème était si important que Lazare Carnot lui consacra un ouvrage qui fait référence encore de nos jours : Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal (1797).

Du Bourguet veut, comme Lagrange et Arbogast avant lui, éviter cet écueil du recours à l'infiniment petit dans les calculs (rejet de ce que l'on nomme l' « infini actuel »), mais aussi de l'utilisation de la notion de limite (l' « infini potentiel »).

Son ouvrage présente un contenu conforme à ce que l'on exposait à l'époque, mais offre un avantage supplémentaire : son introduction est un véritable manifeste anti-infinitiste, et est révélatrice du malaise qui tourmentait les esprit des mathématiciens de l'époque. Elle intéresse donc autant les philosophes des sciences que les mathématiciens et historiens des mathématiques. Nous n'en retiendrons qu'une phrase fort signifiante, renvoyant le lecteur au texte original numérisé par la Bibliothèque Municipale de Strasbourg : « il n'existe pas de grandeur, quelque petite qu'on la suppose, qui puisse, par voie d'addition ou de soustraction, ne pas rigoureusement altérer une grandeur donnée ; et par conséquent les quantités infinitésimales n'existent pas ».

On doit par ailleurs à Du Bourguet des articles d'analyse et de géométrie parus dans les Annales de Mathématiques Pures et Appliquées de J.D. Gergonne :

• Formule nouvelle pour calculer les logarithmes, T. II (1811-1812), p. 69-72
• Lettre de M. Du Bourguet, professeur de mathématiques spéciales au lycée impérial, aux rédacteurs des Annales, T. II (1811-1812), p. 286-287
• Analyse élémentaire. Démonstration du principe qui sert de fondement à la théorie des équations, T. II (1811-1812), p. 338-340 avec réponse de M. Bret : Observation sur une démonstration donnée par M. du Bourguet du principe qui sert de fondement à la théorie des équations algébriques, par M.Bet, T. III '1812-1813) pp.33-34 ; réponse à nouveau de Du Bourguet p. 94-97 (cf. infra).
• Trigonométrie. Démonstration de quelques formules trigonométriques nouvelles ou peu connue. Annales de Gergonne, T. III (1812-1813), p. 19-25
• Correspondance. Annales de Gergonne, T. III (1812-1813), p. 94-97

• Correspondance. Lettre de M. du Bourguet, professeur de mathématiques spéciales au lycée impérial. Annales de Gergonne, T. III (1812-1813), p. 139-140
• Questions résolues. (Du Bourguet; Cardinali; Lanjuinais; Le Grand)
• Solutions du problème d'analyse indéterminée, proposé à la page 140 de ce volume. Annales de Gergonne, T. III (1812-1813), p. 241-243
• Algèbre élémentaire. Démonstrations élémentaires du théorème de d'Alembert sur la forme des imaginaires. Annales de Gergonne, T. IV (1813-1814), p. 20-25
• Sur la démonstration du principe qui sert de fondement à la théorie générale des équations algébriques; T. IV (1813-1814); pp.56-58
• Analyse transcendante. Intégration, sous forme finie, de quelques fonctions différentielles circulaires. Annales de Gergonne, T. IV (1813-1814), p. 72-78
• Géométrie transcendante. Théorie géométrique de la cycloïde. Annales de Gergonne, T. VI (1815-1816), p. 29-45

On lui doit aussi, semble-t-il, un traité de navigation, « L'art du calcul astronomique des navigateurs, porté à un plus haut degré d'exactitude que celui auquel il était déjà parvenu, quoique souvent simplifié, et démontré de manière à être fort aisément compris par tous ceux qui ont quelques notions des mathématiques et de l'astronomie », publié à Paris, chez Firmin Didot, en 1801 (an X) sous le nom de Jean-Baptiste-d'Estienne Du Bourguet.

Notice rédigée par Christian Gerini
Maître de Conférences en Philosophie et Histoire des Sciences à l'Université de Toulon
Membre du Groupe d'Histoire et Diffusion des Sciences d'Orsay
Contact : [email protected]